Решением неравенства является промежуток. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств

Например, неравенством является выражение \(x>5\).

Виды неравенств:

Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Переменная только в первой степени
\(3x^2-x+5>0\)				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
\(\log_{4}{(x+1)}<3\)
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)

... и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:


\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – упражнение, состоящее их двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак «больше» или «меньше». Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительное или отрицательное), если возникает необходимость умножения обеих частей на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если требуется для решения неравенства возводить в квадрат, поскольку возведение в квадрат проводится путем умножения.

Как решать систему неравенств

Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класс, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения).

Задача - решить совокупность неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности

Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией.

Решение неравенств с модулем

Данный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение:

Нам необходимо решить неравенство:

Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака)

Запишем, основываясь данными определения:

Теперь следует решать каждую из систем по отдельности.

Построим одну числовую прямую, на которой изобразим множества решений.

В результате у нас получилась совокупность, объединяющая множество решений.

Решение квадратичных неравенств

Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение квадратичных неравенств. У нас есть неравенство:

Нам известно, что графиком квадратного трехчлена является парабола. Так же нам известно, что ветви параболы направленные вверх, если а>0.

x 2 -3x-4 < 0

Пользуясь теоремой Виета находим корни х 1 = - 1; х 2 = 4

Изобразим параболу, вернее, ее эскиз.

Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от – 1 до 4.

У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x) < f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

На самом деле, методов решения неравенств несколько, поэтому вы можете использовать для решения сложных неравенств графический способ.

Решение дробных неравенств

Более тщательного подхода требуют к себе дробные неравенства. Это обусловлено тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств может измениться знак. Перед тем, как решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона от знака выглядела, как дробно-рациональное выражение, а вторая – «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, мы получим в результате f(x)/g(x) > (.

Решение неравенств методом интервалов

Методика интервалов основана на методе полной индукции, то есть, необходимо для нахождения решения неравенства перебрать все возможные варианты. Данный метод решения, возможно, и не потребуется ученикам 8-х классов, поскольку они должны знать, как решать неравенства 8 класс, которые представляют собой простейшие упражнения. А вот для более старших классов этот метод незаменим, так как помогает решить дробные неравенства. Решение неравенств с помощью данной методики основано и на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0.

Построим график многочлена. Это непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть, f(x) будет равен 0 в точках x 1 , x 2 и x 3 , корнях многочлена. В промежутках между этими точками, знак функции сохраняется.

Так как для решения неравенства f(x)>0 нам необходим знак функции, переходим к координатной прямой, оставив график.

f(x)>0 при x(x 1 ; x 2) и при x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) и при х (x 2 ; x 3)

На графике наглядно показаны решения неравенств f(x)f(x)>0 (синим цветом решение для первого неравенства, а красным – для второго). Чтобы определить Для определения знак функции на интервале, достаточно того, чтобы вам был известен знак функции в одной из точек. Данная методика позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, потому что в таких неравенствах достаточно просто найти корни.

Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы.

Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад.

Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах.

Не опоздать на поезд

Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 - Х) ≥ 20, где Х - время отправления.

Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее.

Числовые промежутки на координатной прямой

Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже.

На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием

Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).

То есть, выяснив, как решать неравенстватакого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U . В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В данной статье я отвечаю на очередной вопрос от моих подписчиков. Вопросы приходят разные. Не все из них корректно сформулированы. А некоторые из них сформулированы так, что не сразу получается понять, о чём хочет спросить автор. Поэтому среди огромного множества присылаемых вопросов приходится отбирать действительно интересные, такие «жемчужины», отвечать на которые не просто увлекательно, но ещё и полезно, как мне кажется, для других моих читателей. И сегодня я отвечаю на один из таких вопросов. Как изобразить множество решений системы неравенств?

Это действительно хороший вопрос. Потому что метод графического решения задач в математике — это очень мощный метод. Человек так устроен, что ему удобнее воспринимать информацию с помощью различных наглядных материалов. Поэтому если вы овладеете этим методом, то поверьте, он для вас окажется незаменимым как при решении заданий из ЕГЭ, особенно из второй части, других экзаменов, так и при решении задач оптимизации и так далее, и так далее.

Так вот. Как же нам ответить на этот вопрос. Давайте начнём с простого. Пусть в системе неравенств содержится только одна переменная .

Пример 1. Изобразите множество решений системы неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Упростим эту систему. Для этого прибавим к обеим частям первого неравенства 7 и поделим обе части на 2, не меняя при этом знак неравенства, так как 2 — положительное число. К обеим частям второго неравенства прибавим 4. В результате получим следующую систему неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Обычно такую задачу называют одномерной. Почему? Да потому что для того, чтобы изобразить множество её решений, достаточно прямой. Числовой прямой, если быть точным. Отметим точки 6 и 8 на этой числовой прямой. Понятно, что точка 8 будет находиться правее, чем точка 6, потому что на числовой прямой большие числа находятся правее меньших. Кроме того, точка 8 будет закрашенной, так как согласно записи первого неравенства она входит в его решение. Наоборот, точка 6 будет незакрашенной, так как она не входит в решение второго неравенства:

Отметим теперь стрелочной сверху значения , которые меньше или равны 8, как того требует первое неравенство системы, а стрелочкой снизу — значения , которые больше 6, как того требует второе неравенство системы:

Осталось ответить на вопрос, где на числовой прямой находятся решения системы неравенств. Запомните раз и навсегда. Знак системы — фигурная скобка — в математике заменяет союз «И». То есть, переводя язык формул на человеческий язык, можно сказать, что от нас требуется указать значения , которые больше 6 И меньше или равны 8. То есть искомый промежуток лежит на пересечении отмеченных промежутков:

Вот мы и изобразили множество решений системы неравенств на числовой прямой в случае, если в системе неравенств содержится только одна переменная. В этот заштрихованный промежуток входят все значения , при которых все неравенства, записанные в системе, выполняются.

Рассмотрим теперь более сложный случай. Пусть в нашей системе содержатся неравенства с двумя переменными и . В этом случае обойтись только прямой для изображения решений такой системы не получится. Мы выходим за рамки одномерного мира и добавляем к нему ещё одно измерение. Здесь нам понадобится уже целая плоскость. Рассмотрим ситуацию на конкретном примере.

Итак, как же можно изобразить множество решений данной системы неравенств с двумя переменными в прямоугольной системе координат на плоскости? Начнём с самого простого. Зададимся вопросом, какую область этой плоскости задаёт неравенство . Уравнение задаёт прямую, проходящую перпендикулярно оси OX через точку (0;0). То есть фактически это прямая совпадает с осью OY . Ну а раз нас интересуют значения , которые больше или равны 0, то подойдёт вся полуплоскость, лежащая справа от прямой :

Причём все точки, которые лежат на оси OY , нам тоже подходят, потому что неравенство — нестрогое.

Чтобы понять, какую область на координатной плоскости задаёт третье неравенство, нужно построить график функции . Это прямая, проходящая через начало координат и, например, точку (1;1). То есть фактически это прямая, содержащая биссектрису угла, образующего первую координатную четверть.

А теперь посмотрим на третье неравенство в системе и подумаем. Какую область нам нужно найти? Смотрим: . Знак «больше или равно». То есть ситуация аналогична той, что была в предыдущем примере. Только здесь «больше» означает не «правее», а «выше». Потому что OY — это у нас вертикальная ось. То есть область, задаваемая на плоскости третьим неравенством, — это множество точек, находящихся выше прямой или на ней:

С первым неравенством системы чуть менее удобно. Но после того, как мы смогли определить область, задаваемую третьим неравенством, я думаю, что уже понятно, как нужно действовать.

Нужно представить это неравенство в таком виде, чтобы слева находилась только переменная , а справа — только переменная . Для этого вычтем из обеих частей неравенства и поделим обе части на 2, не меняя при этом знак неравенства, потому что 2 — это положительное число. В результате получаем следующее неравенство:

Осталось только изобразить на координатной плоскости прямую , которая пересекает ось OY в точке A(0;4) и прямую в точке . Последнее я узнал, приравняв правые части уравнений прямых и получив уравнение . Из этого уравнения находится координата точки пересечения, а координата , я думаю вы догадались, равна координате . Для тех, кто всё-таки не догадался, это потому что у нас уравнение одной из пересекающихся прямых: .

Как только мы нарисовали эту прямую, сразу можно отметить искомую область. Знак неравенства у нас здесь «меньше или равно». Значит, искомая область находится ниже или непосредственно на изображённой прямой:

Ну и последний вопрос. Где же всё-таки находится искомая область, удовлетворяющая всем трём неравенствами системы? Очевидно, что она находится на пересечении всех трёх отмеченных областей. Опять пересечение! Запомните: знак системы в математике означает пересечение. Вот она, эта область:

Ну и последний пример. Ещё более общий. Предположим теперь что у нас не одна переменная в системе и ни две, а аж целых три!

Поскольку переменных целых три, то для изображения множества решений такой системы неравенств нам потребуется третье измерение в добавок к двум, с которыми мы работали в предыдущем примере. То есть мы вылезаем из плоскости в пространство и изображаем уже пространственную систему координат с тремя измерениями: X , Y и Z . Что соответствует длине, ширине и высоте.

Начнём с того, что изобразим в этой системе координат поверхность, задаваемую уравнением . По форме оно очень напоминает уравнение окружности на плоскости, только добавляется ещё одно слагаемое с переменной . Несложно догадаться, что это уравнение сферы с центром в точке (1;3;2), квадрат радиуса которой равен 4. То есть сам радиус равен 2.

Тогда вопрос. А что тогда задаёт само неравенство? Для тех, кого этот вопрос ставит в тупик, предлагаю рассудить следующим образом. Переводя язык формул на человеческий, можно сказать, что требуется указать все сферы с центром в точке (1;3;2), радиусы которых меньше или равны 2. Но тогда все эти сферы будут находиться внутри изображённой сферы! То есть фактически данным неравенством задаётся вся внутренняя область изображённой сферы. Если хотите, задаётся шар, ограниченный изображённой сферой:

Поверхность, которую задаёт уравнение x+y+z=4 — это плоскость, которая пересекает оси координат в точках (0;0;4), (0;4;0) и (4;0;0). Ну и понятно, что чем больше будет число справа от знака равенства, тем дальше от центра координат будут находиться точки пересечения этой плоскости с осями координат. То есть второе неравенство задаёт полупространство, находящееся «выше» данной плоскости. Используя условный термин «выше», я имею ввиду дальше в сторону увеличения значений координат по осям.

Данная плоскость пересекает изображённую сферу. При этом сечение пересечения — это окружность. Можно даже посчитать, на каком расстоянии от центра системы координат находится центр этой окружности. Кстати, кто догадается, как это сделать, пишите свои решения и ответы в комментариях. Таким образом исходная система неравенств задаёт область пространства, которая находится дальше от этой плоскости в сторону увеличения координат, но заключённая в изображённую сферу:

Вот таким образом изображают множество решений системы неравенств. В случае, если переменных в системе больше, чем 3 (например, 4), наглядно изобразить множество решений уже не получится. Потому что для этого потребовалась бы 4-х мерная система координат. Но нормальный человек не способен представить себе, как могли бы располагаться 4 взаимно перпендикулярные оси координат. Хотя у меня есть знакомый, который утверждает, что может сделать это, причём с лёгкостью. Не знаю, правду ли он говорит, может быть и правду. Но всё-таки нормальное человеческое воображение этого сделать не позволяет.

Надеюсь, сегодняшний урок оказался для вас полезным. Чтобы проверить, насколько хорошо вы его усвоили, выполните записанное ниже домашнее задание.

Изобразите множество решений системы неравенств:

ql-right-eqno"> title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Материал подготовил , Сергей Валерьевич